您父亲去世后，名下房产没有您母亲的名字且母亲健在，这种情况下是否可以直接把房子卖给子女，需要先明确房产的继承问题。

您父亲名下的房产，在其去世后成为遗产，母亲健在时不能直接将房子卖给子女。

1. 若存在合法有效的遗嘱指定由母亲一人继承该房产：母亲在完成继承过户后，成为房产的唯一所有权人，此时母亲有权将房子卖给子女。
2. 若不存在遗嘱或遗嘱无效，按照法定继承：您父亲的第一顺序继承人包括母亲、子女（您及其他兄弟姐妹）、您父亲的父母（若健在）。此时房产由各继承人共同继承，母亲不能单独决定将房子卖给子女，需经所有继承人同意并完成继承分割、过户后，才能进行买卖。
针对您父亲去世后名下房产（无母亲名字，母亲健在）能否卖给子女的问题，我们结合相关法律依据来分析。

根据《中华人民共和国继承法》（1985年施行）第十条规定：“遗产按照下列顺序继承：第一顺序：配偶、子女、父母。第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。”您父亲去世后，该房产作为遗产，在无遗嘱的情况下，母亲作为配偶属于第一顺序继承人，有权继承。但该房产是您父亲的个人财产（因无母亲名字），所以母亲并非唯一继承人，子女、您父亲的父母（若在世）同样享有继承权。只有在母亲通过继承（如遗嘱继承或法定继承后其他继承人放弃继承等方式）取得房产完整所有权后，才有权处分房产，包括卖给子女。因此，直接买卖是不合法的，必须先完成继承手续。

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